为什么定积分可以求面积？

微积分的基本概念  等，数经变化，现代的版本是最严格、最抽象的，当然也是最让初学者看不懂的。要理解现代的微积分，我觉得起码需要想想这些名词是否知道：“极限及无穷小量”、、“可数、不可数无穷”、“实分析”、“测度”、“勒贝格测度”、“微分形式”、“黎曼积分”、“达布积分”、“狄利克雷函数”......这真是一个漫长的学习过程，想想自己那些无眠的夜晚。

但罗马并非一日建成。大师也是人，除非是穿越的，否则也不可能一下就把数学发展到这么完善。追根溯源你会发现，这些数学概念也是肇始于各种直观的想象甚至是臆测，虽然稚嫩却极具启发性。

所以从教育和学习的角度出发，我们应该看看，大名鼎鼎的牛顿和莱布尼兹是怎么思考“为什么定积分可以求面积”这个问题？

牛顿、莱布尼兹是这么思考的：

顺便说下，用矩形面积近似曲线面积是二维的线性近似（一维的是用切线近似曲线）。

按照现在的语言就是  ，所以定积分在最初定义的时候，就是被定义成面积的。

再说下，  和导数是什么：

2 牛顿-莱布尼兹公式为什么成立？

定积分可以求面积，我们已经知道了，但是用于计算定积分的最出名的牛顿-莱布尼兹公式是怎么被牛顿、莱布尼兹发现的？

如果函数  是连续函数  在区间  上的一个原函数，那么

《高等数学》同济版

为什么  曲线下的面积和原函数（  的不定积分）有这个关系呢？

我这里尝试给出两个直观的方法（我更喜欢后一种），来帮助你理解这个问题。

2.1 牛顿如何发现牛顿-莱布尼兹公式

牛顿搞物理研究，就是喜欢求导数。给位移求导数得到速度，给速度求导数得到加速度。搞数学研究也这么搞，他想给面积求下导数：

开始求导：  。（注意，牛顿那时候没有极限，所以上式除以  相当于求极限了）。

所以牛顿得出结论，面积的导数就是曲线，曲线的原函数就是面积。

至此牛顿推出了微积分第一基本定理（英文教材是这么命名的，《高等数学》同济版称为积分上限函数的性质）：

 。

为什么叫做微积分第一基本定理？因为我们通过它推出了微积分第二基本定理，也就是牛顿-莱布尼兹公式。这里我就不给出证明了，给出一个直观的说明：

至此，牛顿-莱布尼兹公式得到了验证（不敢说证明，太不严格了）。

不过我觉得还啰嗦了，我下面给出另外一种理解的方法。

2.2 新方法

至此，我们可以得到  ，之前我说过  ，所以有：

 。

根据之前的描述，  表示的无限小矩形的面积，所以  表示的是曲线 下面的面积，从而我们又一次得到了牛顿-莱布尼兹公式。

2.3 彩蛋

给一个“彩蛋”，以前我觉得积分上限函数很神奇，  居然和积分下限没有关系。这里特地做个一个互动让你感受一下为什么（  是曲线，  是 的原函数）：