学海无涯,回头是岸

为什么定积分可以求面积?

28 02月
作者:Ayan|分类:计量模型

微积分的基本概念  等,数经变化,现代的版本是最严格、最抽象的,当然也是最让初学者看不懂的。要理解现代的微积分,我觉得起码需要想想这些名词是否知道:“极限及无穷小量”、、“可数、不可数无穷”、“实分析”、“测度”、“勒贝格测度”、“微分形式”、“黎曼积分”、“达布积分”、“狄利克雷函数”......这真是一个漫长的学习过程,想想自己那些无眠的夜晚。

但罗马并非一日建成。大师也是人,除非是穿越的,否则也不可能一下就把数学发展到这么完善。追根溯源你会发现,这些数学概念也是肇始于各种直观的想象甚至是臆测,虽然稚嫩却极具启发性。

所以从教育和学习的角度出发,我们应该看看,大名鼎鼎的牛顿和莱布尼兹是怎么思考“为什么定积分可以求面积”这个问题?



1 牛顿、莱布尼兹怎么定义定积分的?


牛顿、莱布尼兹是这么思考的:




顺便说下,用矩形面积近似曲线面积是二维的线性近似(一维的是用切线近似曲线)。



按照现在的语言就是  ,所以定积分在最初定义的时候,就是被定义成面积的。

再说下,  和导数是什么:




2 牛顿-莱布尼兹公式为什么成立?



定积分可以求面积,我们已经知道了,但是用于计算定积分的最出名的牛顿-莱布尼兹公式是怎么被牛顿、莱布尼兹发现的?


如果函数  是连续函数  在区间  上的一个原函数,那么
《高等数学》同济版


为什么  曲线下的面积和原函数(  的不定积分)有这个关系呢?

我这里尝试给出两个直观的方法(我更喜欢后一种),来帮助你理解这个问题。


2.1 牛顿如何发现牛顿-莱布尼兹公式

牛顿搞物理研究,就是喜欢求导数。给位移求导数得到速度,给速度求导数得到加速度。搞数学研究也这么搞,他想给面积求下导数:




开始求导:  。(注意,牛顿那时候没有极限,所以上式除以  相当于求极限了)。

所以牛顿得出结论,面积的导数就是曲线,曲线的原函数就是面积。

至此牛顿推出了微积分第一基本定理(英文教材是这么命名的,《高等数学》同济版称为积分上限函数的性质):

 。

为什么叫做微积分第一基本定理?因为我们通过它推出了微积分第二基本定理,也就是牛顿-莱布尼兹公式。这里我就不给出证明了,给出一个直观的说明:





至此,牛顿-莱布尼兹公式得到了验证(不敢说证明,太不严格了)。

不过我觉得还啰嗦了,我下面给出另外一种理解的方法。


2.2 新方法



至此,我们可以得到  ,之前我说过  ,所以有:

 。

根据之前的描述,  表示的无限小矩形的面积,所以  表示的是曲线 下面的面积,从而我们又一次得到了牛顿-莱布尼兹公式。


2.3 彩蛋

给一个“彩蛋”,以前我觉得积分上限函数很神奇,  居然和积分下限没有关系。这里特地做个一个互动让你感受一下为什么(  是曲线,  是 的原函数):


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