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时间序列模型的实际用处?

22 12月
作者:Ayan|分类:计量模型

1.时间序列分析的目的

由于数据之间有统计依赖关系,统计学家往往把一个时间序列看作是某随机过程的一次实现.时间序列中数据顺序及数据大小都蕴含着客观世界及其变化的信息,表现着变化的动态过程。时间序列分析的意义在于研究某一时间序列在长期变动过程中所存在的统计规律性.

进行时间序列分析的三个目的:理解所考虑的动态系统,预测将来事件,通过干预来控制将来事件.

从统计学角度来看一个时间序列的观测样本可看作为一个随机过程的一条样本轨道.时间序列分析是希望根据该样本轨道来推断随机过程的统计性质。然而,有无穷多个随机过程都可以得到同样的观测序列。因此,单凭给定的观测序列而不给该随机过程加任何限制条件,并不能确定该随机过程.为了确定该过程,我们常见的做法是给该过程加限制条件,比如限定该过程为某个指定的族,然后在限定的族里面挑选一个最合理的随机过程.这里指定的族可以是某个参数模型或某个非参数模型.常见的参数模型有自回归(AR)模型、滑动平均(MA)模型,自回归滑动平均(ARMA)模型,等等指定随机过程属于某个族的行为称为建模,在指定族里选择一个最合理的随机过程的行为称为估计,把模型估计出来即完成了时间序列分析的第一个目的.根据该模型,人们可以预测将来的序列值,或者为了使将来的序列值达到某种期望值,可以对该模型进行某种干预.

从系统的角度来看,某一时间序列表现着客观世界的某一动态过程,因此时间序列可看作是某一系统的某一行为及其变化过程.进一步地,某一时间序列可看作是某一系统的有关输出或响应.《时间序列分析及应用》(周永道)一书就阐述了如何将时间序列一些常见的参数模型(如AR模型、MA模型、ARMA模型)看成是相互独立的白噪声激励一随机系统后的输出.输出的时间序列包含了相应系统的结构与参数信息.因此,时间序列分析的目的也可以理解为对相应系统的结构和参数的确定,从而根据该系统来预测或控制将来事件

1.2时间序列分析方法

时间序列分析方法分为描述性分析方法和统计分析方法.所谓描述性分析方法,是指通过直观地比较数据或观察时间序列图寻找序列的发展变化规律这种方法简单直观,有时还颇有成效.人们可以从时间序列图中得到一些简单的结论.然而,描述性分析方法具有很大的局限性,仅能了解一些表面现象,得到的结论也有限.随着统计学的发展,人们越来越关注时间序列的统计分析方法.所谓统计分析方法,是指通过统计学的各种方法研究时间序列的统计特性,进而发现其中的规律.常见的统计分析方法可以分为两种:时域分析方法和频域分析方法

1.2.1时域分析方法

分析一个时间序列,最直观的想法是直接对序列进行统计分析一个时间序列实质上为一个随机序列,而序列值之间存在统计依赖关系,即数据之间存在相关关系.所谓的时域分析方法是从序列自相关的角度分析序列的统计规律的方法.由于时域分析方法的理论丰富,分析结果易于解释,这种分析方法已成时间序列的主流分析方法.

一般地,时域分析法的过程:拿到序列样本后,利用描述性分析方法,考察该序列的特征.然后根据序列的特征选择适当的拟合模型,并根据序列值估计模型的参数,并对该模型的适用性进行检验.若通过检验,则认为该模型是合适的模型,能较好地拟合该时间序列若检验通不过,则重新选择拟合模型,并估计新的拟合模型的参数,再次对新的拟合模型进行检验;重复该过程直到模型检验能通过.最后根据适用的模型,对时间序列进行统计推断或预测。

对于一维时间序列和多维时间序列,时域分析方法又有所不同,因为多维时间序列的情形更加复杂,它不仅要考虑每个时间序列的统计规律,还需要讨论不同时间序列之间的关系.对于一维时间序列,可以从线性角度将其分为线性序列和非线性序列.对于线性序列,最常见的建模方法即是ARMA模型,而AR模型、MA模型是ARMA模型的特殊情形;对于非线性序列,最常见的参数建模方法为 Engle(1982)提出的自回归条件异方差(ARCH)模型.从平稳性角度出发,一维时间序列可分为平稳序列和非平稳序列.平稳序列的常见模型为ARMA模型,而非平稳序列常见模型为求和自回归滑动平均(ARIMA)模型。对于多维时间序列,一开始人们要求每个序列都是平稳的,然而这种要求比较苛刻、 Engle和 Granger(1987)提出协整的概念,放宽了对序列的要求,它只要求序列之间存在某种线性组合平稳,由此多维时间序列分析方法得到极大的发展。

前面考虑的模型往往是参数模型,即假设模型的形式已知,需要通过数据估计该模型中的未知参数.另一类估计方法为非参数估计方法,无需给定模型的具体形式,常见的估计方法有局部多项式等.详细介绍可参Fan和Yao(2002)

1.2.2频域分析方法

在许多工程技术、自然科学、社会经济等领域中,根据观测数据来分析对象的周期性或能量在频域上的分布是非常有意义的。这些结果并不能通过时域分析方法得到.因此,对于给定的时间序列样本,我们可以借助另一种分析方法处理,即对序列样本进行某种变换,使之变换到另一个空间里,并对变换后的数据进行分析.最常见的变换方法即是傅里叶变换。通过对序列样本的傅里叶变换,可以把时域的数据变换到频域上,然后在频域上分析原序列的周期性等信息.我们称这种方法为频域分析方法或谱分析方法。

一般地,一个时间序列可看成各种周期扰动的叠加,谱分析法着重研究时间序列的功率谱密度函数,对序列的频率分量进行统计分析和建模.谱分析方法尤其在工程技术领域得到了大量的应用.现代的谱分析方法是从Burg(1967)提出最大熵谱开始的.不过,由于谱分析方法对专业知识要求较高,分析过程一般比较复杂,且分析结果比较抽象,结论不易于直观解释。所以一般书中只介绍平稳序列的谱分析方法。

参考资料:

《时间序列分析及应用》(周永道)

《应用时间序列分析》(何书元)


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